Ege Üniversitesi Tıp Fakültesi mezunu olan Büyükkılıç, nöroloji alanında uzmanlaştıktan sonra Niğde ve Kayseri’de devlet hastanelerinde görev yaptı. Askerliğini Tabip Teğmen olarak Kıbrıs’ta tamamladı. Hekimler Birliği Vakfı ve çeşitli gençlik vakıflarında yöneticilik görevlerinde bulundu.
Siyasi Tecrübe ve Belediye Başkanlığı
Siyasi kariyerine 1993’te Refah Partisi Kayseri İl Başkanı olarak adım atan Büyükkılıç, 1995’te milletvekili oldu. 1999’dan itibaren dört dönem Melikgazi Belediye Başkanı olarak görev yaptı. 2019 ve 2024 yerel seçimlerinde ise AK Parti’den Kayseri Büyükşehir Belediye Başkanı seçildi. Evli ve üç çocuk babasıdır.